En una carrera de velocidad, conocida como sprint, el atleta corre de un lado a otro sin experimentar obstáculo alguno, por ende, para describirlo bastará considerar un vector momentum, el cual indicará su masa y su velocidad.

Como se aprecia en la Fig. 1, en el sprint de 100 metros planos, cada corredor va por su carril en línea recta sin interactuar con el otro. Es decir, sea lo que haga el corredor A jamás afectará lo que haga el corredor B. En el lenguaje de los físicos se dice que no hay interacción entre los corredores. En el mundo cuántico existe un modelo que tiene mucha analogía con el sprint y se le conoce como el modelo del electrón libre (free-electron en inglés). Y en sistemas mesoscópicos, es decir, estadios más grandes que el tamaño de un átomo pero aún así más pequeños que el grosor de tu cabello, los corredores son llamados electrones de conducción. Por consiguiente, en un modelo free-electron decimos que no existe interacción electrón-electrón. Adicionalmente, al considerar estadios cuyas pistas son lisas podemos decir que no existen impurezas que perturben al corredor, o en el mundo cuántico, no existen interacciones del tipo electrón-impurezas.

Una carrera de 100 metros planos puede ser descrita “teóricamente” por un corredor. Para esto bastará que un solo atleta corra 8 veces con los valores de momentum dados por los otros atletas. Haciendo esto, podemos obtener una imagen global del sistema. En el mundo cuántico ocurre algo similar, para obtener la imagen global usamos un modelo teórico, el cual hace uso de un electrón y le otorga todos los valores posibles del vector momentum, la diferencia es que en el mundo cuántico no solo son 8 electrones los que corren en un sistema mesoscópico, son muchísimos, tantos que para efectos prácticos se hace uso del cálculo infinitesimal. La ventaja del mundo cuántico es que los electrones son partículas indistinguibles, i.e., tienen la misma masa; por consiguiente, el vector momentum puede asociarse únicamente a su velocidad. Este vector es definido como p = m v, donde m es la masa y v el vector velocidad. En el mundo cuántico se prefiere trabajar con el vector de onda k, donde p= $\hbar$k. "hbar" es la constante de Planck. Para efectos prácticos podemos considerar $\hbar$=1, entonces obtenemos p=k, lo cual nos permitirá, a partir de ahora, hablar indistintamente entre el vector momentum y el vector de onda.

En el mundo clásico, el corredor más lento puede ser descrito con una velocidad igual a cero, v=0, mientras que el más rápido puede alcanzar una velocidad máxima que denominaremos velocidad de Fermi o v_F = k_F/m. Actualmente el corredor más rápido es Usain Bolt, podemos decir entonces que actualmente él posee la velocidad de Fermi en el planeta. ¿Qué pasa si Usain Bolt va a la Luna a correr? Es muy probable que su valor v_F disminuya, lo que significa que en la Luna Bolt correría más lento que en la Tierra, esto debido a una fricción reducida en ella. Por consiguiente, el nivel de Fermi está determinado por el sistema en el cual se compite. En el mundo cuántico decimos que el electrón más lento posee una velocidad v=0 y su velocidad de Fermi viene dada por v_F = k_F/m. De la misma forma que Usain Bolt experimenta diferentes velocidades ya sea en la Tierra o en la Luna, el electrón también experimenta diferentes velocidades dependiendo del sistema donde se encuentre. La diferencia radica en que a nivel cuántico no hablamos de la fricción del corredor sino de un cambio en su masa, es decir, la masa del electrón varía dependiendo del material por donde se desplaze. En el caso del mundo clásico la masa es una constante, claro está, siempre y cuando Usain Bolt no pierda un brazo en un accidente.

Hasta ahora hemos mencionado al vector momentum p = k. Considerando este vector podemos definir la energía cinética del corredor o del electrón como E = k²/2m, pero esta es solo la energía cinética, existen otras formas de energía que el corredor o el electrón puede tener. En el mundo cuántico, si nos enfocamos en un modelo free-electron, la energía total del electrón viene dada únicamente por la energía cinética ya que no existen otras formas de interacción. Entonces, si al estudiar un sistema observamos que la energía del electrón se aproxima al cuadrado del vector k entonces el modelo free-electron será suficiente para describirlo cualitativamente. En el rubro de la espintrónica existe un sistema nanométrico que puede ser descrito satisfactoriamente considerando este modelo, se le conoce como una juntura túnel magnética (MTJ, magnetic tunnel junction en inglés), el cual está formado por dos capas metálicas ferromagnéticas separadas por un aislante. En este sistema, en las capas magnéticas el comportamiento de los electrones puede asociarse al de los corredores de sprint. Y en el aislante experimentan lo que solemos llamar el efecto túnel, es decir, los electrones atraviesan el aislante preservando las características de un corredor de sprint. Pero el modelo del electrón libre es solo una aproximación, un modelo más exacto requerirá considerar otros tipos de interacciones, tal es el caso del modelo tight binding.

El modelo tight binding puede ser asociado a una carrera con vallas, en este caso, como se aprecia en la Fig. 2, los 8 atletas tienen que superar obstáculos, los cuales están espaciados equidistantemente. Estas vallas a nivel cuántico serían los potenciales atómicos del sistema mesoscópico, que denominaremos de ahora en adelante un cristal, es decir, los electrones de conducción en un cristal sienten la presencia de los átomos, y esta presencia los perturba en forma similar a las vallas. En el mundo clásico, los corredores mantienen su trayectoria, en el mundo cuántico, si nos enfocamos en un sistema que puede ser descrito por un modelo unidimensional, como es el caso de un MTJ, ocurre algo similar. ¿Qué diferencia trae entonces considerar un modelo free-electron o un modelo tight binding? Si nos imaginamos corriendo una carrera con vallas y luego una carrera sin ellas notaremos la diferencia, en la primera nos cansaremos más que en la segunda, es decir, las vallas modifican la energía del corredor; esta ya no será exactamente proporcional al cuadrado del vector k. Esto quiere decir que en realidad el modelo del electrón libre es muy inexacto; sin embargo, es el modelo más simple y por ende sus resultados pueden ser de gran utilidad. En forma similar al sprint, para tener una imagen global de la carrera con vallas bastará hacer correr a un solo atleta con diferentes valores de momentum. A nivel cuántico decimos que se trata de un modelo single electron tight binding porque solo consideramos un electrón y lo haremos correr muchas veces, o para decirlo matemáticamente, integraremos su resultado sobre todos los posibles vectores k.

Hasta ahora hemos obviado a las impurezas. ¿Cómo se comporta el electrón en presencia de ellas? En forma similar a como tú te comportas cuando llegas a una discoteca y tienes que cruzar la pista de baile para llegar a la barra y pedir un trago. Algunas personas, dícese impurezas, te cerrarán el paso, otras te empujarán, y tú al final terminarás tomando un camino largo y complicado. Esta interacción entre el electrón y la impureza se denomina scattering, es decir el vector momentum del electrón sufrirá un cambio en dirección y magnitud. Si hay muchas impurezas en el sistema, tal como personas en una discoteca, al cabo de un tiempo, el electrón no recordará cual fue su vector k inicial y solo recordará su vector k final o ¿acaso tú recuerdas la ruta exacta cada vez que pides una cerveza en una discoteca? Pero para que existan muchas impurezas en un sistema, este debe ser relativamente grande, digamos que 100 veces más grande que el grosor del aislante en un MTJ.

¿Cómo se puede modelar una impureza? Los potenciales atómicos fueron modelados como vallas, pero estas, a fin de cuenta, solo perturbaron la energía del electrón. Por lógica, si deseamos que el electrón sufra un duro golpe, dícese scattering, necesitamos una valla más alta. La forma más sencilla de modelar matemáticamente una impureza es considerando una función delta, o lo que sería hacer que el electrón compita en el salto con garrocha tal como se muestra en la Fig. 3. En el mundo clásico el atleta usa una colchoneta para que al caer no pierda el conocimiento y pueda recordar su vector k inicial. En el mundo cuántico no existe tal colchoneta, por ende el electrón perderá noción de su vector k inicial al cabo de muchos golpes. Este tipo de modelo free-electron con impurezas es denominado el modelo semiclásico, o cuántico, de Boltzmann. La pregunta pendiente sería, ¿se puede modelar un modelo tight binding con impurezas? Por suspuesto. En este caso, como imaginarás, se trabajará con vallas de diferentes alturas, predispuestas aleatoriamente en el sistema. Esto debido a que uno no puede determinar exactamente la ubicación de las impurezas entonces que mejor forma de ubicarlas que en forma aleatoria.

Sin duda estos modelos son los más simples y por ende permiten comprender fácilmente la física detrás de un problema. Claro está, hemos obviado algo importante y es la interacción electrón-electrón. El gran problema de considerar esta interacción e inclusive otros tipos de interacción es que en un cristal el número de electrones es muy grande, tan grande que demoraríamos siglos en poder resolver la ecuación. Por eso, para poder resolverla los físicos emplean super computadoras, y este modelo que trata de considerar todas las interacciones posibles y de resolver la ecuación a través de una super computadora es denominado Density Functional Theory (DFT) o en el lenguaje común se le conoce como los cálculos ab-initio.

En conclusión, los cálculos ab-initio nos darán resultados más exactos. Sin embargo, cuanto más exacta es la solución, más dificil es encontrar la causa. Por eso, estos 4 modelos descritos acá, se complementan unos a otros y siempre estarán presentes cuando se trate de estudiar un sistema cuántico.